原文作者：朱宸材
曲线与方程是在轨迹概念和直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．
重点：形成“方程的曲线”与“曲线的方程”的概念，掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法，领会运用数形结合的思想方法.
难点：通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，正确理解曲线和方程的关系，培养综合运用各方面知识的能力．
1． 曲线与方程的基本思路
（1）根据方程f（ｘ，ｙ）=0判断曲线形状的常用方法是：在不改变x，y取值范围的前提下，将方程化简或变形后再判断.
（2）已知曲线求方程时，“建系”要适当，通常以使所求方程形式简单为标准.
（3）已知曲线求方程时需要注意以下问题：如果推导方程f（ｘ，ｙ）=0的过程可逆，而且曲线上的点不再受其他条件限制，则f（ｘ，ｙ）=0是所求的方程；如果推导方程f（ｘ，ｙ）=0的过程可逆，但曲线上的点还要满足其他条件，则所求轨迹是曲线f（ｘ，ｙ）=0的一部分，其解析式的表示需要附以其他条件；如果推导方程f（ｘ，ｙ）=0的步骤不可逆，对此种情况要进一步进行分析，然后作出结论，一般而言，这时的轨迹往往是几条曲线孤立组成.
２． 求曲线方程的基本策略
（1）直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程.
（2）定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程． 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
（3）相关点法：若动点Ｐ（ｘ，ｙ）随已知曲线上的点Ｑ（ｘ0，ｙ0）的变动而变动，且ｘ0，ｙ0可用ｘ，ｙ表示，则将Ｑ点坐标代入已知曲线方程，即得点Ｐ的轨迹方程．
（4）待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法． 值得注意的是，掌握特定类型的求法会在解题过程中起事半功倍的效果，但切不可生搬硬套，一定要结合试题具体问题具体分析．
已知直线l：y=x+b与曲线C：y=■有两个公共点，则b的取值范围是_______.
分析 考查两曲线的交点及方程组有解的判定问题.
破解 由方程组y=x+b，y=■得y=x+b，x2+y2=1，其中y≥0. 消去x，得2y2－2by+b2－1=0（y≥0）. l和C有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得b2－1≥0，b>0，Δ=4b2－8（b2－1）>0，解得1≤b<■.
反思 此题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组求解的判定问题. 本题也可以直接画图来进行判断，如图1. []
反思 解题时采用灵活的方法，达到良好的效果.
（2012北京）已知曲线C：（5－m）x2+（m－2）y2=8（m∈R）.
（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的范围；
（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G. 求证：A，G，N三点共线.
分析 此题难度集中在运算上，但题目的整体难度不太大.
（2）将已知直线方程代入椭圆方程化简可得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，Δ=32·（2k2－3），解得k2>■.
由韦达定理得：xM+xN=－■ ①，xMxN=■，②. 设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB的方程为：y=■x－2，则G■，1，所以■=■，1，■=（xN，kxN+2），欲证A，G，N三点共线，只需证■，■共线，即■（kxN+2）=－xN成立，化简得（3k+k）xMxN=－6（xM+xN）. 将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线，得证.
反思 从形式到条件的设计都具有一般性，相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该能得心应手.
本节内容对思维能力的要求较高，综合性强，建议同学们在复习时按部就班注意以下几点：
（1）了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系及曲线的方程与方程的曲线的概念. 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）. 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
（2）掌握求简单的曲线方程的一般步骤，①建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；②设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；③列式：用坐标表示条件列出方程；④化简：化方程为最简形式；⑤检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.
